高中数学圆锥曲线系统讲解第13讲《椭圆、双曲线的两个斜率积结论》练习及答案

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1、 1 第第 13 讲讲 椭圆、双曲线的两个斜率积结论椭圆、双曲线的两个斜率积结论 知识与方法知识与方法 1椭圆的第三定义：如图 1 所示，设椭圆2222:1xyCab+=()0ab的左、右顶点分别为 A 和 B，点 P 为椭圆 C 上不与 A、B 重合的动点，则直线PA、PB的斜率之积2221PAPBbkkea=.推广：如图 2 所示，A、B 为椭圆2222:1xyCab+=()0ab上关于原点对称的任意两点，P 为椭圆 C 上的动点且直线PA、PB的斜率均存在，则直线PA、PB的斜率之积2221PAPBbkkea=2椭圆中点弦结论：如图 3 所示，设AB是椭圆2222:1xyCab+=()0

2、ab的任意一条不垂直于坐标轴且不过原点的弦，M 为AB的中点，则直线OM与直线AB的斜率之积2221OMABbkkea=.3双曲线的第三定义：如图 4 所示，设 A、B 分别为双曲线2222:1xyCab=()0,0ab的左、右顶点，P 为双曲线上不同于 A、B 的任意一点，则直线PA、PB的斜率之积2221PAPBbkkea=推广：如图 5 所示，设 A、B 为双曲线2222:1xyCab=()0,0ab上关于原点 O 对称的任意两点，P 为双曲线 C 上的动点，且PA、PB的斜率都存在，则直线PA、PB的斜率之积2221PAPBbkkea=4双曲线中点弦结论：如图 6 所示，设AB是双曲线

3、2222:1xyCab=()0,0ab的不垂直于坐标轴且不过原点的弦，M 为AB中点，则直线OM与直线AB的斜率之积2221OMABbkkea=.2 提醒：若是焦点在 y 轴上的椭圆或双曲线，则上述四个斜率积的结果都要取倒数.典型例题典型例题【例 1】设椭圆22:12xCy+=的左、右顶点分别为 A 和 B，P 为椭圆 C 上不与 A、B 重合的任意一点，则直线PA、PB的斜率之积为_.【解析】由题意，()2,0A，()2,0B，设()00,P x y，02x ，则220012xy+=，所以220012xy=，所以20200022000011222222PAPBxyyykkxxxx=+.【答案

4、】12 变式 1 设椭圆2222:1xyCab+=()0ab的左、右顶点分别为 A 和 B，点 P 为椭圆 C 上一点且直线PA、PB的斜率之积为12，则椭圆 C 的离心率为_.【解析】由题意，2112PAPBkke=，所以椭圆 C 的离心率22e=.【答案】22 变式 2 设 A 为椭圆2222:1xyCab+=()0ab上第一象限的一点，B 与 A 关于原点对称，点P 在椭圆 C 上且直线PA、PB的斜率之积为12，则椭圆 C 的离心率为_.【解析】由题意，可设()11,A x y，则()11,Bxy，且2211221xyab+=，所以()222222111221xbybxaaa=，设()

5、22,P xy，则2222221xyab+=，所以()222222222221xbybxaaa=，3 从而()()22222221222222121212222221212121PAPBbbxaxaaayyyyyybkkxxxxxxxxa+=+，由题意，2212ba=，所以222ab=，从而22222aac=，故椭圆 C 的离心率22cea=.【答案】22【反思】上面的求解过程其实就是椭圆第三定义推广结论的推导过程，熟悉了这一结论，小题中可直接根据21PAPBkke=求得离心率.变式 3 椭圆22:12xCy+=的左、右顶点分别为 A 和 B，点 P 在 C 上，设直线PA、PB的斜率分别为1

6、k、2k，若112k，则2k的取值范围是_.【解析】由椭圆第三定义，1212k k=，所以2112kk=，111111111212224kkk ，故2k的取值范围是11,24.【答案】11,24【反思】看到椭圆左、右顶点与椭圆上另外一点的连线，想到椭圆第三定义的斜率积结论.变式 4 已知椭圆2222:1xyCab+=()0ab的左、右顶点分别为 A、B，若椭圆 C 上存在不与 A、B 重合的点 P，使得120APB=，则椭圆 C 的离心率的取值范围是_.【解析】如图，不妨设 P 在 x 轴上方，120APB=，记PAB=，PBA=，则18060APB+=，所以()tantantan31tantan+=，从而()tantan3 1tantan+=，由椭圆第三定义，()2tantantantan1PAPBkke=，所以2tantan1e=，代入可得2tantan3e+=，显然，均为锐角，所以tan0，tan0，从而223tantan2 tantan2 1ee=+=，当且仅当tantan=时取等号，故42344ee，结合01e可解得：613e.4 【答案】6,13【例 2】不与坐标轴垂直且不

18.小明在家过周末,联想到一些学过的物理知识的场景中所包含的物理原理,下列说法错误的是()A.擦地后,开窗通风干得快,加快空气流通,使蒸发加快B.用久的灯泡,灯丝变细是升华现象C.北方的冬天,树枝上的雾淞是是凝固形成的D.被100^C的水蒸气烫伤比100^C的水烫伤要严重,是因为水蒸气液化放热