高中数学圆锥曲线系统讲解第27讲《阿基米德三角形》练习及答案

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1、 1 第第 2727 讲讲 阿基米德三角形阿基米德三角形 知识与方法知识与方法 1.如图 1 所示，不妨设抛物线为()220 xpy p=，抛物线上 A、B 两点处的切线交于点P，则：（1）设AB中点为 M，则PM平行于（或重合）抛物线的对称轴；（2）PM的中点 S 在抛物线上，且抛物线在点 S 处的切线平行于弦AB.2如图 2 所示，不妨设抛物线为()220 xpy p=，抛物线上 A、B 两点处的切线交于点P，则：（1）若弦AB过抛物线内的定点 Q，则点 P 的轨迹是直线；特别地，若弦AB过定点()0,m()0m，则点 P 的轨迹是直线ym=；（2）若弦AB过抛物线内的定点 Q，则以 Q

2、为中点的弦与（1）中点 P 的轨迹平行.3如图 3 所示，不妨设抛物线为()220 xpy p=，抛物线上 A、B 两点处的切线交于点P，若AB过焦点 F，则点 P 的轨迹为抛物线准线，PAPB，PFAB，且PAB的面积的最小值为2p.4如图 4 所示，不妨设抛物线为()220 xpy p=，抛物线上 A、B 两点处的切线交于点P，则：（1）PFAPFB=；（2）2AFBFPF=提醒：阿基米德三角形在小题和大题中都可能涉及，小题可以直接用性质速解，大题则必须给出详细的求解过程.典型例题典型例题【例 1】己知点()1,1P 在抛物线()220ypx p=的准线上，过点 P 作抛物线的切线，切点为

3、 A、B，则直线AB的斜率k=_.【解析】点()1,1P 在抛物线()220ypx p=的准线上抛物线的准线为1x=抛物线的焦点为()1,0F，由阿基米德三角形性质，直线AB过 F 且PFAB，而1011 12PFk=，所以直线AB的斜率为 2.2 【答案】2 变式 1 已知点()2,1M和抛物线2:4C xy=，过 C 的焦点 F 且斜率为 k 的直线与 C 交于A、B 两点，若90AMB=，则k=_.【解析】由题意，M 在抛物线 C 的准线上，直线AB过点 F 且90AMB=，所以MAB是阿基米德三角形，如图，由阿基米德三角形性质，MFAB，而1 1120MFk=，所以直线AB的斜率为 1

4、.【答案】1 变式 2 已知抛物线2:4C xy=，过点()1,1P作抛物线 C 的两条切线，切点分别为 A 和 B，则经过 P、A、B 三点的圆的方程为_.【解析】由题意，点 P 在抛物线 C 的准线上，则PAPB，PFAB，且直线AB过焦点()0,1F，所以经过 P、A、B 三点的圆就是以AB为直径的圆，直线PF的斜率为1 1210=，所以直线AB的斜率为12，其方程为112yx=+，设()11,A x y，()22,B x y，联立21124yxxy=+=消去 y 整理得：2240 xx=，故122xx+=，()12121232yyxx+=+=，从而AB中点为31,2，1225AByy=

5、+=，所以经过 P、A、B 三点的圆的方程为()22325124xy+=.3 【答案】()22325124xy+=变式 3 已知过抛物线22xy=焦点 F 的直线与抛物线交于 A、B 两点，抛物线在 A、B 处的切线交于点 C，则ABC面积的最小值为_.【解析】由阿基米德三角形性质，当直线AB过焦点 F 时，ABC面积的最小值为21p=.【答案】1 变式 4 已知抛物线2:4C yx=的焦点为 F，过 F 的直线与抛物线 C 交于 A、B 两点，抛物线 C 在 A、B 两点处的切线相交于点 P，若3AF=，则PF=_.【解析】设AFO=，则231cosAF=+，所以1cos3=，故()2231

6、cos1cos2BF=+，由阿基米德三角形性质，2AFBFPF=所以3 22PFAFBF=.【答案】3 22【例 2】抛物线2:2C xpy=()0p 的焦点为 F，且 F 与圆()22:21I xy+=上的点的距离的最大值为 4.（1）求 p 的值；（2）若点 Q 在圆 I 上，QA、QB是抛物线 C 的两条切线，A、B 是切点，当IQAB时，4 求直线AB与 y 轴交点的坐标.【解析】解：（1）由题意，342p+=，所以2p=.（2）显然直线AB斜率存在，可设其方程为ykxm=+，由（1）知抛物线 C 的方程为24xy=，联立24ykxmxy=+=消去 y 整理得：2440 xkxm=，由韦达定理，124xxk+=，124x xm=，设211,4xA x，222,4xB x，由24xy=可得24xy=，所以2xy=，故直线QA的方程为()211142xxyxx=，整理得：21124xxyx=，同理，直线QB的方程为22224xxyx=，联立2112222424xxyxxxyx=解得：1222xxxk+=，124x xym=，所以点 Q 的坐标 Wie()2,km，因为点 Q 在圆

9.洋葱表皮细胞质壁分离和复原实验过程中,液泡的体积会随外界溶液中溶质浓度的变化而改变,如图所示。图中①、、②两处滴加的溶液分别是()A.清水、清水B.清水、30%蔗糖溶液C.30%蔗糖溶液、清水D.30%蔗糖溶液、30%蔗糖溶液