非凡吉创 2022-2023学年高三年级TOP二十名校十二月调研考数学考试试卷

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非凡吉创 2022-2023学年高三年级TOP二十名校十二月调研考数学试卷答案

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4．已知直线L：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），圆C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．
（1）当α=$\frac{π}{4}$时，求直线L与圆C交点的中点坐标；
（2）证明：直线L与圆C相交，并求最短弦的长度．

分析C：（x-3）²+（y-4）²=1的圆心C（3，4），半径r=1，设P（a，b）在圆C上，则$\overrightarrow{AP}$=（a+m-1，b），$\overrightarrow{BP}$=（a-m-1，b），由已知得m²=（a-1）²+b²，m的最大值即为即为$\sqrt{（3-1）^{2}+{4}^{2}}$+1=2$\sqrt{5}$+1．

解答解：圆C：（x-3）²+（y-4）²=1的圆心C（3，4），半径r=1，
设P（a，b）在圆C上，则$\overrightarrow{AP}$=（a+m-1，b），$\overrightarrow{BP}$=（a-m-1，b），
∵∠APB=90°，∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=0，
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=（a+m-1）（a-m-1）+b²=0，
∴m²=（a-1）²+b²，
∴m的最大值即为$\sqrt{（3-1）^{2}+{4}^{2}}$+1=2$\sqrt{5}$+1．
故答案为：2$\sqrt{5}$+1．

点评本题考查了平面向量的应用问题，也考查了直线与圆的应用问题，是综合性题目．