2023届宝鸡教育联盟高三教学质量检测(四)(23240C)数学考试试卷

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2023届宝鸡教育联盟高三教学质量检测(四)(23240C)数学试卷答案

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1．设a，b∈R，下列不等式中恒成立的是（　　）

A．

$a+\frac{1}{a}≥2$

B．

$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}≥2$

C．

a2+b2＞2ab

D．

$\frac{{{a^2}+3}}{{\sqrt{{a^2}+2}}}＞2$

分析（I）设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由题意可得c=1，代入已知点的坐标，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将直线l的方程y=kx+2代入椭圆方程，利用韦达定理，及向量垂直的充要条件，可求出满足条件的k值．

解答解：（I）设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由题意可得c=1，$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{2{b}^{2}}$=1，a²-b²=1，
解得a=$\sqrt{2}$，b=1，
即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（Ⅱ）假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将直线l的方程y=kx+2代入$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，
并整理，得（2k²+1）x²+8kx+6=0．（*）
△=64k²-24（1+2k²）＞0，解得k＞$\frac{\sqrt{6}}{2}$或k＜-$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
则x₁+x₂=-$\frac{8k}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{6}{1+2{k}^{2}}$．
因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O，
所以$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，即x₁x₂+y₁y₂=0．
又y₁y₂=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4，
于是$\frac{6（1+{k}^{2}）}{1+2{k}^{2}}$-$\frac{16{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$+4=0，解得k=±$\sqrt{5}$，
经检验知：此时（*）式的△＞0，符合题意．
所以当k=±$\sqrt{5}$时，以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．

点评本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的关系，向量垂直的充要条件，难度中档．