2024届福建省宁德市普通高中毕业班五月份质量检测数学

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2024届福建省宁德市普通高中毕业班五月份质量检测数学试卷答案

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15.(18分)如图所示,光滑绝缘水平地面上有滑块A、B,质量均为m=1kg,其中滑块m0=1kg,A带有q=+210^-2C的电荷量,滑块B不带电且绝缘。一劲度系数为k=200N/m的轻弹簧右端固定于墙面上,另一端与滑块B相连。现给空间加上水平向右的匀强电场,电场强度为E=1000V/m。。与滑块B的距离为d=0.3m处将滑块A由静止释放,与静止滑块B发生碰撞后粘在一起开始做简谐运动。两滑块均可视为质点,在运动过程中,弹簧的形变在弹性限度内,已知弹簧的形变量为r时,弹性势能为EP=12kx^2。求:(1)滑块B与滑块A碰撞后瞬间一起向右运动的速度大小;(2)滑块A与滑块B碰后一起做简谐运动的振幅;(3)滑块B从开始运动到第一次返回出发点所用的时间。已知T=T=2mk(T为简谐运动周期,k为劲度系数,m为振子质量)mE

分析（1）通过a₃+a₅=a₂+a₄=14，a₃a₅=45，求出数列的公差，然后求解通项公式．
（2）求出${b_n}={2^n}（2n+1），（n≥2）$，然后利用错位相减法，求解前n项和．

解答解：（1）∵a₃+a₅=a₂+a₄=14，a₃a₅=45，
∴a₃=5，a₅=9或a₃=9，a₅=5…（1分）
∵d＞0，∴a₃=5，a₅=9…（2分）
∴$\left\{\begin{array}{l}{a_3}={a_1}+2d=5\\{a_5}={a_1}+4d=9\end{array}\right.，⇒{a_1}=1，d=2$，
∴a_n=2n-1…（4分）
（2）由$\frac{b_1}{2}+\frac{b_2}{2^2}+…+\frac{b_n}{2^n}={a_n}+1$，得：$\frac{b_1}{2}+\frac{b_2}{2^2}+…+\frac{b_n}{2^n}=2n-1+{n^2}$
又 $\frac{b_1}{2}+\frac{b_2}{2^2}+…+\frac{{{b_{n-1}}}}{{{2^{n-1}}}}=2（n-1）-1+{（n-1）^2}$，（n≥2），…（5分）
两式相减得：$\frac{b_n}{2^n}=2n+1$，
∴${b_n}={2^n}（2n+1），（n≥2）$…（6分）
又$\frac{b_1}{2}={a_1}+1$，则b₁=4，…（7分）
∴${b_n}=\left\{\begin{array}{l}{2^n}（2n+1），n≥2\\4，n=1\end{array}\right.$…（8分）
记${T_n}={b_2}+{b_3}+…{b_n}={2^2}（5）+{2^3}（7）+…+{2^n}（2n+1）$$2{T_n}={2^3}（5）+{2^4}（7）+…+{2^{n+1}}（2n+1）$…（9分）
相减得：$-{T_n}=4+{2^{n+1}}（1-2n）$
则${T_n}={2^{n+1}}（2n-1）-4$，…（11分）
∴${s_n}={2^{n+1}}（2n-1）$…（12分）

点评本题考查等差数列以及等比数列通项公式的应用，数列求和的基本方法，考查计算能力．

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