河北省2024年初三模拟演练（二十二）数学

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河北省2024年初三模拟演练（二十二）数学试卷答案

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3.2023年体操世界杯多哈站男子吊环决赛,中国选手刘洋以15.3366分获得冠军,他的难度分64分,完成分8.966分都是全场最高.图甲中若刘洋用手抓住吊环,伸展身体,以吊环连线为轴做圆周运动,他运动到最高点时,与吊环间弹力大小为F,,刘洋重心在最高点的速度大小为v,其F-v^2图像如图乙所示,8取10m/s^2.若吊环绳认为是竖直向上且伸长量不计,不计空气阻力,下列说法中正确的是乙A.刘洋的质量为550kgB.刘洋的重心到吊环连线的距离为0.9mC.在最高点速度为2m/s时,刘洋受吊环的弹力大小约为200ND.在最高点速度为1m/s时,刘洋受吊环的弹力大小约为428N

分析（1）f（x）为奇函数，利用f（0）=0，解得b，并且验证即可得出．．
（2）由（1）可得：f（x）=$\frac{1-{2}^{-x}}{{2}^{-x+1}+2}$，函数f（x）为增函数．任取实数x₁＜x₂，只要证明f（x₁）-f（x₂）＜0即可．
（3）f（x）为奇函数，由不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0化为f（t²-2t）＜f（k-2t²），再利用单调性即可得出．

解答解：（1）∵f（x）为奇函数，∴f（0）=0，f（0）=$\frac{b-1}{4}$=0，解得b=1．经过验证满足条件．
（2）由（1）可得：f（x）=$\frac{1-{2}^{-x}}{{2}^{-x+1}+2}$，函数f（x）为增函数．
证明：任取实数x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1-{2}^{-{x}_{1}}}{{2}^{-{x}_{1}+1}+2}$-$\frac{1-{2}^{-{x}_{2}}}{{2}^{-{x}_{2}+1}+2}$=$\frac{4（{2}^{-{x}_{2}}-{2}^{-{x}_{1}}）}{（{2}^{-{x}_{1}+1}+2）（{2}^{-{x}_{2}+1}+2）}$，
∵x₁＜x₂，∴-x₂＜-x₁，${2}^{-{x}_{2}}$＜${2}^{-{x}_{1}}$，
∴${2}^{-{x}_{2}}$-${2}^{-{x}_{1}}$＜0，
又$（{2}^{-{x}_{1}+1}+2）（{2}^{-{x}_{2}+1}+2）$＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴函数f（x）为增函数．
（3）∵f（x）为奇函数，由不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0化为f（t²-2t）＜-f（2t²-k），即f（t²-2t）＜f（k-2t²），
又∵f（t）为增函数，t²-2t＜k-2t²，∴3t²-2t＜k．
当t=-$\frac{1}{3}$时，3t²-2t有最小值-$\frac{1}{3}$，∴k$＞-\frac{1}{3}$．

点评本题考查了不等式的性质、函数的单调性与奇偶性、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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