2024年普通高等学校招生伯乐马模拟考试(六)6数学

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2024年普通高等学校招生伯乐马模拟考试(六)6数学试卷答案

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10．已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线l的极坐标方程为：ρ=$\frac{5}{sin（θ-\frac{π}{3}）}$，点P（2cosα，2sinα+2），参数α∈[0，2π]．
（1）求点P轨迹的直角坐标方程；
（2）求点P到直线l距离的最大值．

分析根据对数函数和指数函数的图象和性质，可得函数g（x）=f²（x）+f（2^x）为增函数，且值域为[7，35]，进而得到答案．

解答解：∵f（x）=2+log₂x（1≤x≤8）为增函数，且值域为[2，5]，
∴y=f²（x）为增函数，且值域为[4，25]，
又∵f（2^x）=2+x，1≤x≤8为增函数，且值域为[3，10]，
∴函数g（x）=f²（x）+f（2^x）为增函数，且值域为[7，35]，
故函数g（x）=f²（x）+f（2^x）无零点．

点评本题考查的知识点是函数零点的判定定理，分析出函数的单调性和值域，是解答的关键．

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