2024年全国高考·冲刺预测卷(五)5数学

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2024年全国高考·冲刺预测卷(五)5数学试卷答案

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2．若幂函数f（x）=（m²-m-5）x^m-1在区间（0，+∞）上是增函数，则实数m的值为3．

分析（1）根据函数奇偶性的定义进行判断即可．
（2）利用函数单调性的定义进行证明即可．

解答解：（1）由2^x-1≠0得x≠0，即函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
则g（x）=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}$，
g（-x）=$\frac{{2}^{-x}+1}{{2}^{-x}-1}$=$\frac{1+{2}^{x}}{1-{2}^{x}}$=-$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}$=-g（x），
则g（x）为奇函数 …（6分）
证明：（2）设x₁＜x₂＜0，
则g（x₁）-g（x₂）=$\frac{{2}^{{x}_{1}}+1}{{2}^{{x}_{1}}-1}$-$\frac{{2}^{{x}_{2}}+1}{{2}^{{x}_{2}}-1}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）}{（{2}^{{x}_{1}}-1）（{2}^{{x}_{2}}-1）}$＞0，
∴g（x₁）＞g（x₂），
∴g（x）在（-∞，0）上为减函数．…（12分）

点评本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和证明，利用定义法是解决本题的关键．

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