2023学年第二学期杭州市高二年级教学质量检测（期末考试）数学

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2023学年第二学期杭州市高二年级教学质量检测（期末考试）数学试卷答案

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9.右图为渗透装置示意图,牛膀胱膜只允许单糖分子通过,实验开始时烧杯中的清水液面与漏斗内的蔗糖溶液的液面平齐,有关叙述错误的是A.牛膀胱膜相当于半透膜B.一段时间后漏斗中液面上升DC.蔗糖分子不能通过牛膀胱膜进入烧杯D.水分子只能从烧杯中通过牛膀胱膜进入漏斗,不能从漏斗进入烧杯

分析（1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的增区间．
（2）由题意利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的最大值和最小值．

解答解：（1）函数f（x）=$\sqrt{3}$sin2x-2cos²x+1=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，
故函数f（x）的增区间为[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z．
（2）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，则2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，故当2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$时，函数f（x）取得最小值为-1；
当2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最大值为2．

点评本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．

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