山东省潍坊市2023-2024学年下学期期末考试（高二年级）数学

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山东省潍坊市2023-2024学年下学期期末考试（高二年级）数学试卷答案

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5．有下列命题：①双曲线$\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{9}=1$与椭圆$\frac{x^2}{35}+{y^2}=1$有相同的焦点；
②“-$\frac{1}{2}$＜x＜0”是“2x²-5x-3＜0”必要不充分条件；
③若$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$共线，则$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$所在的直线平行；
④等轴双曲线的离心率是$\sqrt{2}$；
⑤?x∈R，x²-3x+3≠0．
其中是真命题的有：①④⑤．

分析（1）利用向量的数量积公式，结合二倍角公式，化简函数，再求f（x）的最小正周期；
（2）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，即可求f（x）的值域．

解答解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow{b}$=（cosx-$\sqrt{3}$sinx，2cos（x-$\frac{π}{6}$）），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=sinx（cosx-$\sqrt{3}$sinx）+cosx•2cos（x-$\frac{π}{6}$）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，
∴2sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-$\sqrt{3}$，2]，
∴f（x）的值域为[-$\sqrt{3}$，2]．

点评此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．

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