河南省2023-2024学年度七年级第二学期第二次学情分析(二)数学

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河南省2023-2024学年度七年级第二学期第二次学情分析(二)数学试卷答案

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如图所示,半径为R=0.8m的小滑块从圆轨道上A点静止释放,沿圆弧轨道运动到B点水平抛出,落到传送带上端C点,恰好与传送带CD方向相切并无碰撞地进入传送带。滑块与传送带之间动摩擦因数=0.5传送带始终保持速率v=10m/sv=10m/s逆时针方向匀速转动。认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力,忽略空气阻力,sin37°=0.6,37^=0.6,37^=0.8,gcos37°=0.8,g取10m/s²。求:10m/s^2。光滑四分之一圆轨道,A点与圆心O点等高,B点在圆轨道FB;(1)滑块运动到B点时,圆弧轨道对滑块支持力的大小E;30N.(2)滑块从传送带C点运动到D点过程中,滑块与传送带间摩擦产生的热量Q.

分析求出A的坐标和切线方程，则所求面积和体积均可用两个定积分的差来表示．

解答解：设切线方程为y=kx+1，切点坐标为（a，b），
则$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{a}}\\{ka+1=b}\\{lna=b}\end{array}\right.$，解得a=e²，b=2，∴A（e²，2）．
将y=0代入y=lnx得x=1，∴B（1，0）．
∴直线AB的方程为$\frac{y}{2}=\frac{x-1}{{e}^{2}-1}$，即y=$\frac{2x}{{e}^{2}-1}$-$\frac{2}{{e}^{2}-1}$．
∴区域D的面积为${∫}_{1}^{{e}^{2}}lnxdx$-${∫}_{1}^{{e}^{2}}$（$\frac{2x}{{e}^{2}-1}$-$\frac{2}{{e}^{2}-1}$）dx=（xlnx-x）${|}_{1}^{{e}^{2}}$-（$\frac{{x}^{2}-2x}{{e}^{2}-1}$）${|}_{1}^{{e}^{2}}$=2．
区域D绕x轴旋转一周所得几何体体积为π•${∫}_{1}^{{e}^{2}}（lnx）^{2}dx$-$\frac{1}{3}×π×{2}^{2}×（{e}^{2}-1）$=π•x[（lnx）²-2lnx+2]|$\underset{\stackrel{{e}^{2}}{\;}}{1}$-$\frac{4π（{e}^{2}-1）}{3}$=（2e²-2）•π-$\frac{4π（{e}^{2}-1）}{3}$=$\frac{2π{（e}^{2}-1）}{3}$．

点评本题考查了定积分在求面积、体积中的应用，是中档题．

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