贵州省遵义市2024年初中学业水平考试模拟试题卷(1)数学

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贵州省遵义市2024年初中学业水平考试模拟试题卷(1)数学试卷答案

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黑茶是一种后发酵茶,通常用采摘的鲜茶经过数道工序制成,富含多肽、氨基酸、维生素等营养物质。黑茶刚制成时有酒香气,滑润甘甜。黑茶制成后常用牛皮纸进行包装储存,保存时间越久的老茶,茶香味越浓厚。下列叙述错误的是()A.新茶发酵完成后要进行灭菌并密封,有利于茶的长期保存B.黑茶制作过程主要利用酵母菌等多种微生物进行发酵C.黑茶发酵过程涉及多种酶催化,发酵后饮用有利于营养物质的吸收D.湿度、温度、通气情况可能会影响发酵过程,进而影响黑茶的品质

分析（1）求导f′（x）=1+1nx，从而由导数的正负确定函数的单调性；
（2）构造函数F（x）=f（x）-g（x）=x•1nx-ax²+2ax-1，从而求导F′（x）=1+lnx-2ax+2a，F″（x）=$\frac{1}{x}$-2a，从而确定函数的最小值即可．

解答解：（1）∵f（x）=x•1nx，f′（x）=1+1nx，
故当x∈（0，$\frac{1}{e}$）时，f′（x）＜0；
当x∈（$\frac{1}{e}$，+∞）时，f′（x）＞0；
故f（x）的单调减区间为（0，$\frac{1}{e}$），
单调增区间为（$\frac{1}{e}$，+∞）；
（2）证明：令F（x）=f（x）-g（x）=x•1nx-ax²+2ax-1，
故F′（x）=1+lnx-2ax+2a，F″（x）=$\frac{1}{x}$-2a，
∵x∈[1，2]，a∈[1，2]，
∴F″（x）=$\frac{1}{x}$-2a＜0，
∴F′（x）在[1，2]上是减函数，
又∵F′（1）=1+0=1＞0，F′（2）=1+ln2-4a+2a=1+ln2-2a＜0，
∴F（x）在[1，2]上先增后减，
故F（x）的最小值在x=1或x=2上取得，
而F（1）=1ln1-a+2a-1=a-1≥0，（a∈[1，2]）；
F（2）=2ln2-4a+4a-1=2ln2-1=ln4-1＞0，
故F（x）≥0恒成立，即f（x）≥g（x）．

点评本题考查了导数的综合应用及恒成立问题与函数思想的应用．构造函数F（x）=f（x）-g（x）是关键．

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