江苏省苏州市2023-2024学年度第二学期高二期中调研试卷数学

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江苏省苏州市2023-2024学年度第二学期高二期中调研试卷数学试卷答案

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2．已知等差数列{a_n}满足a₂=2，a₅=8
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设各项均为正数的等比数列b_n}的前n项和为T_n若b₃=a₃，T₂=3，求T_n．

分析（Ⅰ）由△ABF₂的周长为8求得a，然后结合${k_{P{A_1}}}•{k_{P{A_2}}}=-\frac{1}{4}$求得b点的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）设出N的坐标，利用两点间的距离公式得到|MN|关于N的纵坐标的函数，然后分类求出椭圆上动点N与M点距离的最大值．

解答解：（Ⅰ）如图，由△ABF₂的周长为8，得4a=8，即a=2．
∴A₁（-2，0），A₂（2，0），
设P（x₀，y₀），则$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}=1$．
又${k_{P{A_1}}}•{k_{P{A_2}}}=-\frac{1}{4}$，得$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}•\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}=-\frac{1}{4}$，
即$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+{{y}_{0}}^{2}=1$，∴b²=1．
则椭圆方程为：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（Ⅱ）设椭圆上N（x₀，y₀）（-1≤y₀≤1），又M（0，m），
∴|MN|=$\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+（{y}_{0}-m）^{2}}$=$\sqrt{-3{{y}_{0}}^{2}-2m{y}_{0}+{m}^{2}+4}$
=$\sqrt{-3（{y}_{0}+\frac{m}{3}）^{2}+\frac{4{m}^{2}}{3}+4}$．
若$\frac{m}{3}＞1$，即m＞3时，则当y₀=-1时，|MN|有最大值为m+1，
若0$＜\frac{m}{3}≤1$，即0＜m≤3时，则当${y}_{0}=-\frac{m}{3}$时，|MN|有最大值为$\sqrt{\frac{4{m}^{2}}{3}+4}$．

点评本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆方程的求法，训练了利用配方法求函数的最值，是中档题．

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