开封五校2023-2024学年下学期高二期中联考（242642D）数学

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开封五校2023-2024学年下学期高二期中联考（242642D）数学试卷答案

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16．f（x）=x•lg（$\frac{1+x}{1-x}$）．
（1）证明函数的奇偶性；
（2）判断f（x）在[0，1）上的单调性（只需写出单调性结论，不需要证明过程），并解不等式f（x）＞f（2x-1）．

分析（1）设椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），根据已知构造方程，解得a²，b²可得椭圆C的标准方程；
（2）由l与OA平行且距离为2，可得l的方程，联立椭圆方程，判断方程组是否有解，可得结论．

解答解：（1）设椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
∵椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点，
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{9}{{b}^{2}}=1\\{a}^{2}={b}^{2}+4\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a}^{2}=16\\{b}^{2}=12\end{array}\right.$
所求椭圆方程是$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$；
（2）若存在这样的直线l，依题意，l与OA的平行，
故l的斜率k=k_OA=$\frac{3}{2}$，
设直线l的方程为：y=$\frac{3}{2}$x+b，则直线OA与l的距离为$\frac{\left|b\right|}{\sqrt{1+（\frac{3}{2}）^{2}}}$=2，
解得：b=±$\sqrt{13}$，
此时l的方程为：y=$\frac{3}{2}$x±$\sqrt{13}$，
代入椭圆方程整理得：$3{x}^{2}±3\sqrt{13}x+1=0$，
由△=105＞0可得：l与椭圆必有两个交点，
故所求直线l方程y=$\frac{3}{2}$x±$\sqrt{13}$

点评本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的关系，难度中档．

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