云南省昭通市第一中学2024-2025学年高二（下）5月奖学金考试数学试卷（含答案）

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1、第 1页，共 8页2024-2025 学年云南省昭通市第一中学高二下学期学年云南省昭通市第一中学高二下学期 5 月奖学金考试月奖学金考试数学试卷数学试卷一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设全集=1 0，()0，则事件，不互斥C.已知随机变量 (,13)，若()=1，则(=2)=29D.若随机变量服从正态分布 1,2，则函数()=(+2)为偶函数10.已知数列 满足1+22+43+21=2，的前项和为，则()第 2页，共 8页A.1=1B.数列 为等差数列C.，2，3构成等比数列D.数列1+1的前 100 项和为255

2、111.已知函数()=sin+cos,，则下列说法正确的是()A.若 cos2=35，则4()=1725B.当 2,2时，函数=4()与=sin4+34的图像恰有 5 个交点C.当=2+1,时，函数=()的图象关于直线=4成轴对称图形D.当=2,时，记函数2()的最小值为，则=1?0,0)的离心率为，若直线 2 =0 与双曲线有公共点，则离心率的取值范围为.(请用区间表示)14.6 根长度相同的绳子平行放置在桌面上，分别将左、右两边的 6 个绳头各自随机均分成 3 组，然后将每组内的两个绳头打结，则这 6 根绳子恰能围成一个大圈的概率为四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字

3、说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题 13 分)在中，角，所对应的边分别为，.已知cos cos=(1)求角；(2)如图，的平分线交于，=2，求1+1的取值范围16.(本小题 15 分)21 世纪汽车博览会在上海举行某汽车模型公司共有 25 个汽车模型，其外观与内饰的颜色分布如表所示：红色外观蓝色外观棕色内饰812米色内饰23第 3页，共 8页现将这 25 个汽车模型进行编号(1)若小明从 25 个汽车模型编号中随机选取一个，记事件为小明取到的模型为红色外观，事件为小明取到的模型为米色内饰，求()和()；(2)该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人一次性从 25 个汽车模型编号中

4、选取两个，给出以下抽奖规则：选到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均同色、外观和内饰都异色以及仅外观或仅内饰同色；按结果的可能性大小设置奖项，概率越小奖项越高；该抽奖活动的奖金金额为一等奖600 元、二等奖 300 元、三等奖 150 元请你分析奖项对应的结果，设为奖金金额，写出的分布列，并求出的数学期望17.(本小题 15 分)已知函数()=e22+(+2)e+2+22(1)若=1，求曲线=()在点 0,(0)处的切线方程；(2)若()有两个零点，求的取值范围18.(本小题 17 分)如图，在四棱锥 中，底面是直角梯形，/,，且=2=4，侧面是正三角形，侧面 底面，为中点，作 交于(1)

5、求证：平面；(2)求平面与平面的夹角的余弦值；(3)在平面内是否存在点.使得?=0，若存在，求动点的轨迹长度；若不存在，请说明理由19.(本小题 17 分)已知圆心在轴上移动的圆经过点(4,0)，且与轴、轴分别交于(,0)，(0,)两个动点(1)求点(,)的轨迹的方程；(2)过(4,0)作直线与曲线相交于，两点()(2,0)，直线，与曲线的另一个交点分别为，证明直线过定点，并求出该定点；()(,0)=1,2,3,为点列，直线，与曲线的另一个交点分别为，若数列的前项和为，证明 16 0，则 cos=12，又 0,，则=3(2)在中，由正弦定理可得sin=sin，1=sinsin6=sin，同理中

6、，有1=sin，1+1=sin+sin，=3，+=23，sin+sin=sin+sin +3=3sin +6，0,23，sin +612,1,1+132,3 16.(1)由题意得，()=2+325=15，()=8+225=25，()=225，则()=()()=22525=15(2)记外观与内饰均同色为事件1，外观与内饰都异色为事件2，仅外观或仅内饰同色为事件3，第 5页，共 8页则 1=C82+C22+C122+C32C252=98300=49150，2=C81C31+C121C21C252=48300=425，3=C81C21+C121C31+C81C121+C21C31C252=154300=77150 2 1 0 恒成立，()在(,+)上单调递增，函数在定义域内最多一个零点，不符合题意；当 0，则 ln()；令()0，则 ln()，函数()在,ln()上单调递减，在 ln(),+上单调递增，()极小值=ln()=2 ln()1，若()极小值 0，则e 0，此时()最多一个零点，不符合题意；若()极小值 0，则 e，又+时，()+；时，()+，第 6页，共 8页由零点存在性定理和函

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