新高考高考数学一轮复习巩固练习8.13第80练《圆锥曲线求值与证明问题》（解析）

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1、第80练求值与证明问题考点一求值问题1已知椭圆E：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作垂直于x轴的直线l与椭圆E在第一象限交于点P，若PF15，且3ab2.(1)求椭圆E的方程；(2)设A，B是椭圆E上位于直线l两侧的两点若直线AB过点(1，1)，且APF2BPF2，求直线AB的方程解(1)由题可得PF23，因为PF15，由椭圆的定义得a4，所以b212，所以椭圆E的方程为1.(2)易知点P的坐标为(2,3)因为APF2BPF2，所以直线PA，PB的斜率之和为0.设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为k，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线PA的方程为y3k(x2)，联。

2、立可得(34k2)x28k(32k)x4(32k)2480，所以x12，同理直线PB的方程为y3k(x2)，则可得x22，所以x1x2，x1x2，kAB，所以满足条件的直线AB的方程为y1(x1)，即x2y30.2已知抛物线E：y22px(p0)的焦点为F，点A(2,1)是抛物线内一点，P为抛物线上的动点，且|AP|PF|的最小值为3.(1)求抛物线E的方程；(2)过点(1,1)作斜率之和为0的两条直线l1，l2(l1的斜率为正数)，其中l1与曲线E交于M，C两点，l2与曲线E交于B，N两点，若四边形MBCN的面积等于16，求直线l1的方程解(1)过点P作抛物线E准线的垂线，垂足为D(图略)，。

3、则|PF|PD|，于是|AP|PF|AP|PD|，当A，P，D三点共线时，|AP|PD|有最小值2，所以23，解得p2，所以抛物线E的方程为y24x.(2)依题意可知，直线l1，l2的斜率均存在，并且互为相反数，由(1)知F(1,0)，设直线l1的方程为xm(y1)1(m0)，M(x1，y1)，C(x2，y2)，将l1的方程代入抛物线方程并化简得y24my4m40，则y1y24m，y1y24m4.|MC|4，同理得|BN|4.设直线l1的倾斜角为，则tan ，直线l1，l2的夹角2或2，sin sin 2，因此四边形MBCN的面积S|MC|BN|sin 216m16，令tm2，得t(t1)2t。

4、23，从而有t3t2t3，解得t1，此时m1，故直线l1的方程为yx.考点二证明问题3如图，B，A是椭圆C：y21的左、右顶点，P，Q是椭圆C上都不与A，B重合的两点，记直线BQ，AQ，AP的斜率分别是kBQ，kAQ，kAP.(1)求证：kBQkAQ；(2)若直线PQ过定点，求证：kAP4kBQ.证明(1)由题意知B(2,0)，A(2,0)，设Q(x1，y1)，则y1，则kBQkAQ.(2)设P(x2，y2)，由(1)知kBQkAQ，要证kAP4kBQ，只需证kAP4，即证kAPkAQ10，即证10，即证(x12)(x22)y1y20.设直线PQ：xty，代入y21，整理得(t24)y2ty0。

5、，显然，0成立则y1y2，y1y2.(x12)(x22)y1y2y1y2(t21)y1y2t(y1y2)(t21)0，(x12)(x22)y1y20成立，从而kAP4kBQ成立4(2022长沙模拟)已知抛物线C：y22px(p1)上的点P(x0,1)到抛物线焦点F的距离为.(1)求抛物线C的方程；(2)若点E(t,4)在抛物线C上，过点D(0,2)的直线l与抛物线C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)(y10，y20)两点，点H与点A关于x轴对称，直线AH分别与直线OE，OB交于点M，N(O为坐标原点)，求证：SAMDSOMN.(1)解由点P(x0,1)在抛物线C上可得，122px0，解得x0.所以P.易知抛物线的准线方程为x，由抛物线的定义可得|PF|x0，整理得2p25p20，解得p2或p(舍去)故抛物线C的方程为y24x.(2)证明由E(t,4)在抛物线C上可得424t，解得t4.所以E(4,4)，则直线OE的方。