2023年全国高考·模拟调研卷XXY(四)4数学考试试卷

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2023年全国高考·模拟调研卷XXY(四)4数学试卷答案

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21.科学家通过下列实验探究细胞核的功能:①用头发将蝶螈的受精卵横缢为有核和无核的两半,中间只是很少的细胞质相连,结果无核的一半(a)停止分裂,有核的一半(b)能继续分裂;②b部分分裂到1632个细胞时,将一个细胞核挤入到不能分裂的a部分,结果a部分开始分裂、分化,进而发育成胚胎。下列分析正确的是A.实验结果说明细胞核与细胞的分裂有关B.实验结果说明细胞的寿命与细胞核有关C.实验结果说明细胞核控制着细胞的代谢D.实验结果说明细胞质是代谢的主要场所

分析（1）利用递推关系化简得a_n=2a_n-1+2，变形为a_n+2=2（a_n-1+2），即可证明；
（2）利用“错位相减法”与等比数列数列的前n项和公式即可得出．

解答（1）证明：由S_n=2a_n-2n对n∈N^*成立，当n=1时，a₁=S₁，故a₁=2．
当n≥2时，由a_n=S_n-S_n-1，化简得a_n=2a_n-1+2，即a_n+2=2（a_n-1+2），且a₁+2=4．
故数列{a_n+2}是等比数列，公比为2，首项为4，
∴a_n=2ⁿ⁺¹-2．
（2）解：由（1）知：na_n=n•2ⁿ⁺¹-2n．
令A_n=2²+2×2³+3×2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，
∴2A_n=2³+2×2⁴+…+n•2ⁿ⁺²，
∴-A_n=2²+2³+…+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺²=$\frac{4（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺²=（1-n）•2ⁿ⁺²-4，
∴A_n=（1-n）•2ⁿ⁺²-4，
∴T_n=（n-1）2ⁿ⁺²+4-n（n+1）．

点评本题考查了“错位相减法”、等比数列数列的前n项和公式、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．