2023届衡水金卷先享题调研卷 湖南专版 六数学考试试卷

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2023届衡水金卷先享题调研卷 湖南专版 六数学试卷答案

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17．已知函数f（x）=lnx+（x-b）²（b∈R）在区间$[{\frac{1}{2}，2}]$上存在单调递增区间，则实数b的取值范围是（　　）

A．

$（{-∞，\frac{3}{2}}）$

B．

$（{-∞，\frac{9}{4}}）$

C．

（-∞，3）

D．

$（{-∞，\sqrt{2}}）$

分析求出f（x）的导数，令g（x）=x+lnx-1（x＞0），求出g（x）的导数，判断单调性，即可得到f′（x）=0的解为x=1；
由f′（x）＜0，解不等式可得0＜x＜1．

解答解：函数$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}+xlnx-2x$的导数为f′（x）=x+1+lnx-2
=x+lnx-1，
令g（x）=x+lnx-1（x＞0），
g′（x）=1+$\frac{1}{x}$＞0，即g（x）在x＞0递增，
由g（1）=0，可得f′（x）=0的解为x=1；
由f′（x）＜0，解得0＜x＜1．
故答案为：（0，1）．

点评本题考查导数的运用：求单调区间，注意运用构造函数的方法判断单调性，考查运算能力，属于中档题．