新高考高考数学一轮复习巩固练习8.16第83练《探索性问题与圆锥曲线的综合问题》（解析）

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1、第83练探索性问题与圆锥曲线的综合问题考点一探索性问题1已知椭圆N：1(ab0)经过点C(0,1)，且离心率为.(1)求椭圆N的标准方程与焦距；(2)直线l：ykx与椭圆N的交点为A，B两点，线段AB的中点为M，是否存在常数，使AMCABC恒成立，并说明理由解(1)因为椭圆N：1(ab0)经过点C(0,1)，且离心率为，所以b1，.又因为a2c2b2，解得c1，a，所以焦距2c2，椭圆N的标准方程为y21.(2)存在常数2，使AMC2ABC恒成立理由如下，联立得(918k2)x212kx160，(12k)24(918k2)(16)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.。

2、(x1，y11)，(x2，y21)，则x1x2(y11)(y21)x1x2(1k2)x1x2(x1x2)(1k2)0，所以.因为线段AB的中点为M，所以|MC|MB|，所以AMC2ABC，所以存在常数2，使AMC2ABC恒成立2(2022岳阳模拟)已知双曲线C：1的离心率为，点P(4，)在C上(1)求双曲线C的方程；(2)设过点(1,0)的直线l与曲线C交于M，N两点，问在x轴上是否存在定点Q，使得为常数？若存在，求出Q点坐标及此常数的值，若不存在，说明理由解(1)由题意可得，解得a24，b21，双曲线方程为y21.(2)设直线l的方程为xmy1，由题意知直线l斜率存在，m0，定点Q(t,0)。

3、，联立直线l与双曲线的方程为可得(m24)y22my30，m240，且4m212(m24)0，解得m23且m24.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，y1y2，y1y2，x1x2m(y1y2)22，x1x2(my11)(my21)m2y1y2m(y1y2)114.(x1t，y1)(x2t，y2)(x1t)(x2t)y1y2x1x2t(x1x2)t2y1y24tt24t2，若为常数，与m无关，则有8t230，即t，此时.当直线斜率为0，即直线l与x轴重合时，不妨设M(2,0)，N(2,0)，此时成立，综上，在x轴上存在定点Q，使得为常数.考点二综合问题3(2022娄底模拟)已知直线l：xmy1。

4、过椭圆C：1(ab0)的右焦点F，抛物线x24y的焦点为椭圆C的上顶点，且l交椭圆C于A，B两点，点A，F，B在直线x4上的射影依次为D，K，E.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l交y轴于点M，且1，2，当m变化时，求证：12为定值；(3)当m变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，请说明理由(1)解因为直线l：xmy1过椭圆C的右焦点F，所以右焦点F(1,0)，即c21.又因为x24y的焦点(0，)为椭圆C的上顶点，所以b，即b23，a2b2c24，所以椭圆C的方程为1.(2)证明由消去x得(3m24)y26my90，0，设A(x1，y1)，B(x2。

5、，y2)，则y1y2，y1y2，因为1，2，M，所以1(1x1，y1)，2(1x2，y2)，所以11，21，所以1222，综上所述，当m变化时，12为定值.(3)解当m0时，直线lx轴，则四边形ABED为矩形，易知AE与BD相交于点N，猜想AE与BD相交于点N，证明如下：由(2)得，因为y2(y1)(y1y2)my1y2m0，所以，又与有公共点N，所以A，N，E三点共线同理可得B，N，D三点共线，则猜想成立，即当m变化时，直线AE与BD相交于定点N.4(2022石家庄模拟)已知椭圆E：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A(0，)，直线AF2的倾斜角为60，原点O到直线AF2的距离是a2.(1)求E的方程；(2)如图，过E上任一点P作直线PF1，PF2分别交E于M，N(异于P的两点)，且m，n，探究：是否为定值？若是，求出定值；若不。