2021年中国科学技术大学少年创新班自主招生数学试卷及答案

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1、2021 年年安安徽徽合合肥肥中中国国科科学学技技术术大大学学自自主主招招生生数数学学试试卷卷（少少年年创创新新班班）一一、填填空空题题（本本大大题题共共 5 小小题题）1、设 ，关于的方程4 4 50 2+2=0有四个实数解且成等差数列，则=2、棱长为1的正方体 1111中，11与11公共部分的体积为3、若直线+=1(0,0)与曲线=4相切，则+的最小值为4、若2+2=2+2+3=2+2+=16，则2+3=5、一个小球在0，1，2，这+1个位置移动，小球向前向后移动一个单位的概率都为12若在0处，则小球只能向前移动，若初始位置在0处，则首次移动到的步数的期望为二二、解解答答题题（本本大大题题

2、共共 4 小小题题）6、在 中，证明：32cos+cos+3cos27、对，有 +=cos+2，求 解析式8、已知0=1，1=，=12212，证明为次整系数多项式，并求=0的所有根9、证明为无理数当且仅当 ，使0 1希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划1、【答案】75;【解析】设四个实数解为 2，1

3、，1，2，且12252，有1012=4 50，914=2，可得103=4 50，所以=752、【答案】16;【解析】易知公共部分为正方体六个面中心所围成的几何体，如下图所示：可知=13 1 12=163、【答案】9;【解析】当相切时，有=2+4=1，可得2=108，所以+=+2+233249，当且仅当=3，=6取等号4、【答案】16 3;【解析】，应该是正数，构造如下边长为4的等边，满足=，=，=希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|

4、筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划，=2，=23，=56，则可知2+3=4+=4=16 35、【答案】2;【解析】设首次从到的步数期望为，则有=12(+1+1)+12(1+1)，所以+1=1+2，可得+1=2+01又小球在0处，只能向前移动到1，则有0 1=1，所以0=01(2+1)?=2，又有=0，则0=26、【答案】证明见解析;【解析】方法一:32cos+cos+3cos=32cos+sinsin+(3 cos)cos32cos+sin2+(3 cos)2=32cos+4 2 3cos=2

5、 1 222，其中=4 2 3cos (3 1,3+1)方法二:由嵌入不等式有2+2+22cos+2cos+2cos，令=34，=12，=32，则有2=1，2=34，2=14，所以32cos+cos+3cos27、【答案】=0或 =sin希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划;【解析】取=2，=0，有

6、 0=0，取=0，则有1 2 =0，（）若 =0，对任意 均成立，可得 =0，符合；（）若 不恒为0，有2=1，取=2，有 +2=cos，对任意 均成立，可得 =sin综上可知 =0或 =sin8、【答案】证明见解析，=2 2cos+1=1,2,;【解析】由21=12 2，可得2+1 112 2=2，整理得+1+21=+221，则由+221=2+201=，所以=1 22，又0，1符合为次整系数多项式，则由数学归纳法，可知为次整系数多项式记=22，有0=1，1=2，所以有=2 1 2，取=2 2cos，有02 2cos=1=sinsin，12 2cos=2cos=sin2sin，由数学归纳法可知，2 2cos=sin+1 sin，由sin+1 =0，有+1 =，希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦计划希望学|筑梦

16.视紫红质是一种存在于高等动物视觉系统的物质,与动物视网膜对光的感知有非常重要的作用,科学家在细菌细胞膜上也发现了视紫红质,细菌视紫红质是一种光依赖的离子通道,极为擅长捕捉光线,从而迫使带电粒子如H^+离开细胞,在细胞膜内外产生电位差,让ATP合成酶正常发挥功能,为细胞进行生命活动提供能量。细菌视紫红质的作用机制如图所示,下列有关叙述正确的是A.细菌视紫红质的合成不需要内质网、高尔基体等细胞器的参与B.细菌视紫红质介导的H^+运出细胞的方式与钾离子进人人体神经细胞的方式相同C.图示细菌细胞中合成ATP的能量来源可直接来自光能,也可来自有机物分解释放的化学能D.细菌视紫红质不仅是离子跨膜运输的载体,也是接收光信号的受体