高中数学圆锥曲线系统讲解第14讲《双曲线渐近线的几个常用结论》练习及答案

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1、 1 第第 14 讲讲 双曲线渐近线的几个常用结论双曲线渐近线的几个常用结论 知识与方法知识与方法 设双曲线2222:1xyCab=()0,0ab的焦点分别为1F、2F，则有以下结论：1.双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长 b.2如图 1 所示，以12FF为直径的圆与双曲线 C 的渐近线在第一象限的交点为(),a b.3如图 2 所示，过双曲线 C 上任意一点 P 作 C 的两条渐近线的平行线，则它们与两条渐近线所围成的平行四边形PIOJ的面积是定值2ab.4如图 3 所示，双曲线 C 上任意一点 P 处的切线与 C 的两条渐近线分别交于 A 和 B两点，则 P 为AB的中点，且AOB的面

2、积为定值ab.5 如图 4 所示，A、B 分别在双曲线 C 的两条渐近线上，D 为AB的中点，若直线OD、AB的斜率都存在，则它们的斜率之积为22ba.典型例题典型例题【例 1】已知双曲线()222:10 xCyaa=的右焦点为 F，则 F 到双曲线 C 的渐近线的距离为_.【解析】解法 1：由题意，双曲线 C 的右焦点为()21,0Fa+，渐近线为1yxa=，即0 xay=，从而 F 到渐近线的距离22111ada+=+.解法 2：由题意，双曲线 C 的虚半轴长1b=，所以 F 到双曲线 C 的渐近线的距离为 1.【答案】1 变式 已知双曲线()22:10C xya=的右焦点为 F，过 F

3、且与 x 轴垂直的直线与双曲线 C交于 A、B 两点，则 A、B 两点到双曲线的一条渐近线的距离之和为_.【解析】解法 1：由题意，()2,0F，直线AB的方程为2x=，代入双曲线 C 的方程可求得1y=，如图，由对称性，不妨设()2,1A，()2,1B，双曲线的渐近线为yx=，即 2 0 xy=，不妨考虑渐近线0 xy=，则 A、B 两点到该渐近线的距离乙和为()2121222+=.解法 2：由题意，双曲线的虚半轴长1b=，如图，分别过 A、B、F 作其中一条渐近线的垂线，垂足分别为 I、J、K，由本节的结论 1，点 F 到渐近线的距离1AK=，而显然FK是梯形AIJB的中位线，所以22BJ

4、AIKF+=.【答案】2【反思】梯形中位线的长等于2+上底下底；双曲线焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b.【例 2】如下图所示，双曲线22:13yC x=的左、右焦点分别为1F、2F，以12FF为直径的圆与双曲线 C 的渐近线交于 A、B、D、E 四点，则四边形ABDE的面积为_.【解析】解法 1：由题意，()12,0F，()22,0F，双曲线的渐近线为3yx=以12FF为直径的圆的方程为224xy+=，联立2234yxxy=+=，可解得：13xy=或13xy=，所以()1,3A，由对称性可得四边形ABDE是矩形，且2AB=，2 3AE=，所以四边形 ABDE的面积为22 34 2=.解法 2：

5、由本节结论 2 知点 A 的坐标为()1,3，显然四边形ABDE是矩形，且2AB=，2 3AE=，所以四边形ABDE的面积为22 34 2=.3 【答案】4 2 变式 （2019 新课标卷）已知双曲线2222:1xyCab=()0,0ab的左、右焦点分别为1F、2F，过1F的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A、B 两点，若1F AAB=，120FB F B=，则 C的离心率为_.【解析】解法 1：如图，可设00,bB xxa，()1,0Fc，()2,0F c，则100,bFBxcxa=+，200,bF Bxcxa=，所以()()22222222120000022210bbcFB F Bxcx

6、cxxcxcaaa=+=+=，解得：0 xa=或a（舍去），从而(),B a b，由1F AAB=知 A 为1FB中点，所以,22ac bA，代入byxa=得：22bb aca=，整理得：2ca=，即双曲线 C 的离心率2cea=.解法 2：如图，由120FB F B=知12BFBF，又 O 为12FF中点，所以12112OBFFOF=，由1F AAB=知 A 为1FB中点，所以1AOBAOF=，又12AOFBOF=，所以1260AOBAOFBOF=从而双曲线 C 的一条渐近线的斜率2tantan603bBOFa=，即3ba=，所以223ba=，从而2223caa=，故2cea=.解法 3：如图，由120FB F B=知12BFBF，所以点 B 是以12FF为直径的圆与渐近线在第一象限的交点，由本节的结论 2 知(),B a b，又1F AAB=，所以 A 为1FB中点，因为()1,0Fc，所以,22ac bA 因为点 A 在另一条渐近线byxa=上，所以22bb aca=，化简得离心率2cea=.【答案】2 4 【例 3】已知双曲线22:126xyC=的右焦点为 F，点 A 为双曲线

9.当代学者顾准认为:(古希腊)殖民子邦对母邦在政治制度上的影响是很大的,无论是以何种方式出离母邦殖民,他们的政治大多都不再以血族为基础,新制度的原则要以契约为基础。这揭示出古希腊A.经济活动必须以殖民为基础B.母邦政治对殖民子邦起决定作用C.小国寡民城邦体制的狭隘性D.海外殖民促进了民主政治的发展