湖南省2022-2023学年2024届高二年级上学期期中考试数学考试试卷

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湖南省2022-2023学年2024届高二年级上学期期中考试数学试卷答案

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15．幂函数f（x）的图象经过点（$\sqrt{2}$，2），点（-2，$\frac{1}{4}$）在幂函数g（x）的图象上，
（1）求f（x），g（x）的解析式．
（2）x为何值时f（x）＞g（x）？x为何值时f（x）＜g（x）？

分析（1）利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可把曲线C₂与C₃的极坐标方程化为直角坐标方程，联立解出即可得出．
（2）把曲线C₁的参数方程代入曲线C₂：可得t²-2（cosα+2sinα）t+4=0，利用|MA|•|MB|=t₁t₂即可得出．

解答解：（1）曲线C₂：ρ=2sinθ，化为ρ²=2ρsinθ，∴直角坐标方程为：x²+y²=2y；
C₃：$ρ=2\sqrt{3}cosθ$，即ρ²=2$\sqrt{3}ρ$cosθ，可得直角坐标方程：x²+y²=2$\sqrt{3}x$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=2y}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=2\sqrt{3}x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$．
∴C₂与C₃交点的直角坐标分别为（0，0），$（\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{3}{2}）$．
（2）曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=-1+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数，t≠0），其中0≤α＜π，
代入曲线C₂：可得（-1+tcosα）²+（-1+tsinα）²=2（-1+tsinα），
化为：t²-2（cosα+2sinα）t+4=0，
∴|MA|•|MB|=t₁t₂=4．

点评本题考查了极坐标化为直角坐标方程的方法、曲线的交点坐标、直线的参数方程应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．