新高考高考数学一轮复习巩固练习7.6第61练《几何法求空间角》（解析）

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1、第61练几何法求空间角考点一异面直线所成的角1(2022长春质检)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB，AD1，AA1，则异面直线AD1与A1C1所成角的余弦值为()A. B. C. D.答案D解析连接AC(图略)，AA1CC1，AA1CC1，四边形AA1C1C为平行四边形，A1C1AC，则D1AC即为异面直线AD1与A1C1所成的角或其补角，cosD1AC.2已知正四面体ABCD，点M为棱AB上一个动点，点N为棱CD上靠近点C的三等分点，记直线MN与BC所成角为，则sin 的最小值为()A. B. C. D.答案A解析不妨设正四面体ABCD的棱长为3，则该四面体的高为，连接AN，BN，B。

2、NAN，要求直线MN与BC所成的最小角，即为直线BC与平面ABN所成的角，记点C到平面ABN的距离为h，由等体积法可知VCABNVABCN，即SABNhSBCN，解得h，所以直线BC与平面ABN所成角的正弦值为，所以sin 的最小值为.3(2022海口模拟)直四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长均相等，ADC120，M是BB1上一动点，当A1MMC取得最小值时，直线A1M与B1C所成角的余弦值为()A. B. C. D.答案A解析如图，设直四棱柱ABCDA1B1C1D1的棱长为2，当A1MMC取得最小值时，M为BB1的中点，连接A1D，则A1DB1C，则DA1M为直线A1M与B1C所成角(。

3、或其补角)，此时A1D2，A1M，ADC120，ABD为等边三角形，得BD2，DM，则A1MD为等腰三角形，可得cosDA1M.考点二直线与平面所成的角4如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别为棱A1B1，AD，CC1的中点，则对角线BD1与平面EFG所成角的大小为()A. B. C. D.答案D解析如图，在正方体中取棱B1C1，AA1，CD的中点M，N，P，连接EM，MG，GP，PF，FN，NE，得到正六边形ENFPGM，连接AC，BD，则ACBD，又DD1AC，BDDD1D，所以AC平面BDD1，又BD1平面BDD1，故ACBD1，又ACPF，则PFBD1，同理可得NFB。

4、D1，且PFNFF，故BD1平面ENFPGM，所以对角线BD1与平面EFG所成角的大小为.5已知E，F，O分别是正方形ABCD的边BC，AD及对角线AC的中点，将ACD沿着AC进行翻折构成三棱锥，则在翻折过程中，直线EF与平面BOD所成角的余弦值的取值范围为()A. B.C. D.答案A解析如图所示，作EHOB交OB于H，设直线EF与平面BOD的交点为M，连接MH，由EHOB，EHOD，且ODOBO，OD，OB平面BOD，则EH平面BOD，故HME为直线EF与平面BOD所成的角，因为MH平面BOD，则EHMH，所以cosHME，则sinHME，令正方形ABCD的边长为1，则AC，HEOCAC，。

5、在翻折过程中，EF与平面BOD的交点M在平面ABC内的射影，由点O向点H移动，即EM越来越小，且EHEMOE，所以sinHME，即sinHME1，所以HME，则0cosHME，所以直线EF与平面BOD所成角的余弦值的取值范围为.6在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知ABC120，四边形ABCD是边长为2的菱形，且AA14，E为线段BC上的动点，当BE_时，A1E与底面ABCD所成角为60.答案1解析如图所示，连接AE，因为AA1底面ABCD，所以A1EA为A1E与底面ABCD所成的角，即A1EA60，又因为AA14，所以tan 60，解得AE，设BEm(0m2)，在ABE中，AB2，ABE120，AE，由余弦定理可得222m222mcos 120，整理得3m26m40，解得m1.考点三二面角7如图，锐二面角l的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB4，ACBD6，CD8，则锐二面角l的平面角的余弦值。