伯乐马 2024年普通高等学校招生新高考模拟考试(十)10数学

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伯乐马 2024年普通高等学校招生新高考模拟考试(十)10数学试卷答案

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6．已知圆C的半径为1，圆心C在直线3x-y=0上．
（Ⅰ）若圆C被直线x-y+3=0截得的弦长为$\sqrt{2}$，求圆C的标准方程；
（Ⅱ）设点A（0，3），若圆C上总存在两个点到点A的距离为2，求圆心C的横坐标a的取值范围．

分析先根据函数的奇偶性分析出奇函数f（x）在区间[-2，2]上有零点x=-2，x=0，x=2，所以原问题等价为：f（x）在区间（0，2）内必有唯一零点，再结合图象求解．

解答解：∵f（x+4）=f（x），且f（x）奇函数，
∴令x=-2代入上式得，f（2）=f（-2）=-f（2），
所以，f（2）=0且f（-2）=0，
所以，f（x）在区间[-2，2]上有零点x=-2，x=0，x=2，
要使函数f（x）在区间[-2，2]上有5个零点，
则f（x）在区间（0，2）内必有唯一零点，
即方程x²-x+b=1在（0，2）内有唯一实数根，
分离参数b得，b=-x²+x+1=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$，x∈（0，2），
结合函数g（x）=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$的图象，如右图（实线）
要使g（x）=b只有一个实数根，则b∈（g（2），g（1）]=（-1，1]，
另外，当b=g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{4}$（过顶点），也符合题意，
又因为，当x∈（0，2）时，真数x²-x+b=（x-$\frac{1}{2}$）²+b-$\frac{1}{4}$≥b-$\frac{1}{4}$＞0，
所以，b＞$\frac{1}{4}$，
故实数b的取值范围为：（$\frac{1}{4}$，1]∪{$\frac{5}{4}$}．

点评本题主要考查了函数的图象与性质，涉及函数的奇偶性和函数零点的确定，体现了数形结合的解题思想，属于中档题．

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