永州市2024年上期高一期末质量监测试卷数学

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永州市2024年上期高一期末质量监测试卷数学试卷答案

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15．已知函数f（x）=e^x，x∈R
（Ⅰ）若直线y=kx与f（x）的反函数的图象相切，求实数k的值
（Ⅱ）设a，b∈R，且a≠b，A=f（$\frac{a+b}{2}$），B=$\frac{f（a）+f（b）}{2}$，C=$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}$，试比较A，B，C三者的大小，并说明理由．

分析由题意画出图象，在△ABC中根据余弦定理分别求出BC、cosB的值，结合条件在△ABD中求出BD和AD的值．

解答解：由题意画出图象：
在△ABC中，由余弦定理得，
BC²=AB²+AC²-2AB•ACcos∠BAC
=9+4-2×3×2×$（-\frac{1}{2}）$=19，
则BC=$\sqrt{19}$，DB=$\frac{2\sqrt{19}}{3}$
所以cosB=$\frac{A{B}^{2}+B{C}^{2}-A{C}^{2}}{2AB•BC}$=$\frac{9+19-4}{2×3×\sqrt{19}}$=$\frac{4}{\sqrt{19}}$，
在△ABD中，AD²=AB²+BD²-2AB•BDcos∠B
=9+$\frac{76}{9}$-2×3×$\frac{2\sqrt{19}}{3}$×$\frac{4}{\sqrt{19}}$=$\frac{13}{9}$，
所以AD=$\frac{\sqrt{13}}{3}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{13}}{3}$．

点评本题考查余弦定理的应用，以及化简、计算能力，属于中档题．

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