甘肃省环县一中2024-2025学年上学期高二暑期检测(5018B)数学

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甘肃省环县一中2024-2025学年上学期高二暑期检测(5018B)数学试卷答案

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19．对定义在[0，1]上的函数f（x），如果同时满足以下三个条件：
①对任意x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立．
则称函数f（x）为理想函数．
（1）判断g（x）=2^x-1（x∈[0，1]）是否为理想函数，并说明理由；
（2）若f（x）为理想函数，求f（x）的最小值和最大值；
（3）若f（x）为理想函数，假设存在x₀∈[0，1]满足f[f（x₀）]=x₀，求证：f（x₀）=x₀．

分析由根式内部的代数式大于等于0，且对数式的真数大于0联立不等式组得答案．

解答解：由$\left\{\begin{array}{l}{3x-1≥0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$，解得：$\frac{1}{3}≤x＜1$．
∴函数y=$\sqrt{3x-1}$+lg（1-x）的定义域为[$\frac{1}{3}$，1）．
故选：C．

点评本题考查函数的定义域及其求法，考查了不等式的解法，是基础题．

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