2025届全国名校高三单元检测示范卷·(八)8数学

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2025届全国名校高三单元检测示范卷·(八)8数学试卷答案

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11．已知点A（-1，2），B（3，-1）．则与向量$\overrightarrow{AB}$同方向的单位向量（$\frac{4}{5}，-\frac{3}{5}$）或（$-\frac{4}{5}，\frac{3}{5}$）．

分析由圆的参数方程得P（2+2cosθ，3+2sinθ），0≤θ≤2π．设Q（x，y），由已知得（x-4，y）=（$\frac{2cosθ-2}{3}$，$\frac{3+2sinθ}{3}$），由此能求出动点Q的轨迹．

解答解：∵点P为圆C：（x-2）²+（y-3）²=4上一动点，
∴P（2+2cosθ，3+2sinθ），0≤θ≤2π．
设Q（x，y），∵A（4，0），$\overrightarrow{AQ}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AP}$，
∴（x-4，y）=$\frac{1}{3}$（2cosθ-2，3+2sinθ）=（$\frac{2cosθ-2}{3}$，$\frac{3+2sinθ}{3}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-4=\frac{2cosθ-2}{3}}\\{y=\frac{3+2sinθ}{3}}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{2cosθ=3x-10}\\{2sinθ=3y-3}\end{array}\right.$．∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{3}cosθ=x-\frac{10}{3}}\\{\frac{2}{3}sinθ=y-1}\end{array}\right.$，
∴（x-$\frac{10}{3}$）²+（y-1）²=$\frac{4}{9}$．
∴动点Q的轨迹是以（$\frac{10}{3}$，1）为圆心、以$\frac{2}{3}$为半径的圆，其方程为（x-$\frac{10}{3}$）²+（y-1）²=$\frac{4}{9}$．

点评本题考查动点的轨迹方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的参数方程、向量知识、圆的性质、三角函数等知识点的合理运用．

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