河北省2023-2024学年度八年级下学期期中考试数学

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河北省2023-2024学年度八年级下学期期中考试数学试卷答案

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(2)(10分)如图所示,结构相同的绝热汽缸A与导热汽缸B均固定于水平地面,刚性杆连接横截面积均为S的绝热活塞a、b,两汽缸中均封闭一定量的理想气体。开始时活塞静止,A、B的体积均为V,压强均等于大气压po。A中气体热力学温度为TA,设环境温度p0。ATA,始终不变,现通过电热丝加热A中的气体,停止加热达到稳定后,B中气体的体积减小V5,,活塞a、b与两汽缸内壁之间的摩擦可忽略不计,求:(i)停止加热后B中气体的压强;(i)停止加热后A中气体的热力学温度。abB

分析（1）化简得f（x）=1+sin2x+cos2x-1=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ解得增区间；
（2）根据x的范围求出2x+$\frac{π}{4}$的范围，结合正弦函数的单调性求出f（x）的最值．

解答解：（1）f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x-2=1+sin2x+cos2x-1=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∴f（x）的最小正周期是$\frac{2π}{2}$=π．
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，解得-$\frac{3π}{8}$+kπ≤x≤$\frac{π}{8}$+kπ，
∴f（x）的单调增区间是[-$\frac{3π}{8}$+kπ，$\frac{π}{8}$+kπ]，k∈Z．
（2）∵x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，∴2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{3π}{4}$，$\frac{7π}{4}$]，
∴当2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{4}$时，f（x）取得最大值1，
当2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{2}$时，f（x）取得最小值-$\sqrt{2}$．

点评本题考查了三角函数的恒等变换和性质，是基础题．

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