新高考联考协作体 湖北省2024年春季高二期末考试(7月)数学

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新高考联考协作体 湖北省2024年春季高二期末考试(7月)数学试卷答案

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3.光电倍增管是进一步提高光电管灵敏度的光电转换器件。管内除光电阴极和阳极外两极间还放置多个瓦形倍增电极。使用时相邻两倍增电极间均加有电压,以此来加速电子加图所示,光电阴极受光照后释放出光电子,在电场作用下射向第一倍增电极,引起由子的一次尖射,激发出更多的电子,然后在电场作用下飞向下一个倍增电极,又激发出更多的子如此电子数不断倍增,使得光电倍增管的灵敏度比普通光电管要高得多,可用来检测微弱光信号。下列说法正确的是

分析（I）由a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$（n∈N^*），两边取倒数可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{a}_{n}}$，即可证明，再利用等差数列的通项公式即可得出a_n．
（II）对任意正整数n，都有（1+$\frac{{b}_{n}}{{{a}^{2}}_{n}}$）•n=$\frac{5{n}^{2}+10n+9}{4n+4}$成立，可得b_n=$\frac{1}{n（n+1）}$，再利用“裂项求和”即可得出．

解答证明：（I）∵a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$（n∈N^*），两边取倒数可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{a}_{n}}$，∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$．
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}为等差数列，首项为2，公差为$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=2+$\frac{1}{2}（n-1）$=$\frac{n+3}{2}$，∴a_n=$\frac{2}{n+3}$．
（II）对任意正整数n，都有（1+$\frac{{b}_{n}}{{{a}^{2}}_{n}}$）•n=$\frac{5{n}^{2}+10n+9}{4n+4}$成立，
∴$（1+\frac{（n+3）^{2}{b}_{n}}{4}）•n$=$\frac{5{n}^{2}+10n+9}{4n+4}$，
化为n•（n+3）²b_n=$\frac{5{n}^{2}+10n+9}{n+1}$-4n=$\frac{（n+3）^{2}}{n+1}$，
∴b_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴S_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$．
∴$\frac{1}{2}$≤S_n＜1．

点评本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”、不等式的性质、数列的单调性，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．

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