湖南省郴州市2026届高三第一次教学质量监测数学试卷（含答案）

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1、 第 1 页，共 10 页 湖南省郴州市湖南省郴州市 2026 届高三第一次教学质量监测数学试卷届高三第一次教学质量监测数学试卷 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合=|1 2，=|2 4,，则 =()A.1,2)B.0,2)C.0,1,2 D.0,1 2.复数=4+2的虚部为()A.4 B.4 C.2 D.2 3.已知等差数列的前项和为，若3+7=18，5=25，则10=()A.19 B.29 C.30 D.31 4.已知随机变量N(2,2),且 P(1)=P(a),则1+9(0 x a)的最小值为()A.5

2、 B.112 C.203 D.163 5.“湘超”足球比赛正在如火如茶的进行中，某企业赞助一批足球训练设备给甲、乙、丙三个球队。这批设备分别为6个相同的跳箱和3箱相同的药球。要求每队至少有一个跳箱，且药球不能全部分配给同一球队，则不同的分配方案有()A.35种 B.70种 C.140种 D.210种 6.已知点(1,2)，点在抛物线2=12上运动，点在圆(3)2+2=1上运动，则|+|的最小值为()A.2 B.3 C.4 D.5 7.函数()对 ，(+2)=(4 )，且(+6)为奇函数，则下列说法正确的是()A.若 (0,3时()=2，则(8)=4 B.()的周期为6 C.()的图象关于(6,

3、0)中心对称 D.(2025)+(3)0 8.设=150，=2ln(sin1100+cos1100)，=65ln5150，则，的大小关系正确的是()A.B.C.D.1，不等式2 ln2(1)0恒成立，则实数的最大值为 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)在 中，角，所对的边分别为，已知cos+3sin=+，是边上的中线，且=312，=5(1)求角的大小;(2)求及 的面积 16.(本小题15分)第 3 页，共 10 页 湘绣，是中国优秀的民族传统工艺之一，有着两千多年的历史。湘绣的制作工艺繁杂，一幅湘绣作品要经过设计图案和刺

4、绣两大主要环节，且只有设计图案通过后才能进行刺绣，两个环节相互独立。只有同时通过这两个环节才能成为成品。某绣坊准备制作，三幅不同的湘绣作品，已知，三幅作品通过设计图案环节的概率依次为34，23，45，通过刺绣环节的概率依次为23，34，35(1)求，三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节的概率;(2)若已知，三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节，求通过的作品为的概率;(3)经过设计图案和刺绣两个环节后，三幅作品成为成品作品的件数为.求随机变量的分布列及数学期望()17.(本小题15分)在四棱锥 中，底面为直角梯形，满足 ，/，=2，=1，底面.点为棱的中点，点为棱的中点 (1)证明：/平面;(2)求

5、平面与平面所成夹角的余弦值;(3)设点为三棱锥 的内切球球面上一动点，求三棱锥 体积的最大值 18.(本小题17分)已知双曲线:2222=1(,0)的左右顶点分别为，实轴|=2，且左焦点到其中一条渐近线的距离为 3(1)求双曲线的标准方程;(2)过左焦点的直线交双曲线左右两支于，两点(点位于第一象限)，直线与相交于点()求证：点在定直线上;()求证：射线平分 19.(本小题17分)已知函数()=+ln(+1)，1(1)讨论函数()的单调性;第 4 页，共 10 页 (2)若不等式()0在 (1,+)上恒成立，求实数的取值范围;(3)当=1时，定义数列满足：1=1，=(+1)，()证明：1+11

6、2 2(112)，;()结合()的结论，证明：121 122，第 5 页，共 10 页 参考参考答案答案 1.2.3.4.D 5.6.7.8.9.10.11.12.3 13.6 6 14.22 15.解：由正弦定理得：sincos+3sinsin=sin+sin sin=sin(+)，再根据两角和正弦公式展开得：sincos+3sinsin=sincos+cossin+sin，消去sincos，整理得：3sinsin cossin=sin 0 ，sin 0，两边同除以sin得：3sin cos=1 由辅助角公式得：sin(6)=12 又0 0，()在(1,+)上单调递增;当 0，()在(1,1 1)上单调递增;当 (1 1,+)，()0，()在(1 1,+)上单调递增;(2)，若 0，当 +时，()+，显然不满足恒小于等于0，因此 0，所以(2)0，所以1 2 0 于是 ，+1 0 设=+1 0，则=+ln(1+)，要证：1+112 2(112)，只需证：112 2(1+ln(+1)12)，即证：1+122+ln(+1)，两边乘以2+ln(+1)，整理为2 2+(+2)ln(1+)0

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