2024年山西省初中学业水平考试适应性测试(一)1数学

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2024年山西省初中学业水平考试适应性测试(一)1数学试卷答案

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13.(12分)如图所示,导热性能良好的汽缸开口向上竖直放置,a、b是固定在汽缸内壁的卡环,两卡环间的距离为h..缸内一个质量为m、横截面积为S的活塞与汽缸内壁接触良好,且无摩擦不漏气,活塞只能在a、b之间移动,缸内封闭一定质量的理想气体.此时环境温度为T0,,活塞与卡环b刚好接触但无作用力,活塞离缸底的距离为4h,,两卡环能承受的最大压力为mg4,,活塞的厚度不计,大气压强p0=2mgS,,重力加速度大小为g..求:(1)要使卡环不被破坏,环境的最低温度当环境温度提高到43Tn时,缸内气体的压

分析原不等式可等价为：arctana-a≤arctanb-b，只需构造函数f（x）=arctanx-x，再运用函数的单调性证明不等式．

解答证明：∵正切函数y=tanx在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）上单调递增，
∴其反函数y=arctanx在R上也单调递增，
不妨设，a≥b，原不等式可化为：arctana-arctanb≤a-b，
因此，原不等式等价为：arctana-a≤arctanb-b，-----①
要证不等式①成立，只需构造函数，f（x）=arctanx-x，x∈R，
f'（x）=$\frac{1}{1+x^2}$-1=-$\frac{x^2}{1+x^2}$≤0恒成立，
所以，f（x）在R上单调递减，
由于a≥b，所以f（a）≤f（b），
即arctana-a≤arctanb-b，
所以，|arctana-arctanb|≤|a-b|．
说明：本题也可以利用“拉格朗日中值定理”证明．

点评本题主要考查了运用导数证明不等式，涉及正切，反正切函数的性质，导数的运算，以及函数单调性的确定，属于中档题．

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