山东省青岛市四区联考2026届高三上学期期中考试数学试卷（含答案）

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1、第 1页，共 8页山东省青岛市四区联考山东省青岛市四区联考 2026 届高三上学期期中考试数学试卷届高三上学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设=|是小于 9 的正整数，=1,2,3,4,5，则=()A.6,7,8B.7,8,9C.0,6,7D.6,72.已知等差数列的前项和为，若5与7是方程2 8+4=0 的两根，则11=()A.41B.42C.43D.443.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 2，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为()A.36B.33C.32D.34.设(1,1)，(2,2)为平面

2、上两点，定义(,)=|1 2|+|1 2|为，的“直角距离”.若(,)=2，则线段长度的最小值为()A.2B.3C.2D.55.将函数()=sin(2 3)的图象向左平移(0 2+1C.数列1的前项和小于 2D.数列的前项和为(3 1)21三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。12.2+12=13.记 的内角，的对边分别为，其面积为，已知=12(2+2 2)sin，则=14.在矩形中，为边上的两个点，=，当在线段上运动时，记=，=，则 tan(+)的最大值为四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题 13 分)如图，

3、在多面体中，四边形为正方形，平面 平面.为的中点，=2，(1)证明：平面 平面;(2)求平面和平面的夹角的大小16.(本小题 15 分)第 3页，共 8页在 中，为的中点，为线段上一动点，?=?+?，=18(1)求，;(2)若=3，的面积为 43，求的最小值17.(本小题 15 分)欧拉函数()()的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数.例如：(4)=2(1,3与 4 互质)(1)求(2)，(8)，(16);(2)若=(2)()，证明：=1(+1)(+1+1)?1218.(本小题 17 分)已知函数()=1，直线为曲线=()在点(,()处的切线(1)当=1 时，求的方程;(2)若

4、与曲线=()相交于点(,()，且 3 3第 4页，共 8页参考答案参考答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.314.2+6215.解：(1)因为四边形为正方形，所以 ，又平面 平面，又=平面 平面，所以 平面，所以 又为中点，所以=，由勾股定理得2+2=22=2，所以 故 AB平面，所以 ，又 ，=,平面，所以 平面，平面，所以平面 平面(2)以射线，分别为非负，轴建立空间直角坐标系，设=1则(0,12,12)，(1,0,0)，(0,1,0)，(1,0,1)，由(1)知?=(0,12,12)是平面的一个法向量?=(0,0,1)，?=(1,1,0)，设平面的法向量为?=

5、(,)，则?=0?=+=0，令=1，=1，?=(1,1,0)第 5页，共 8页令 cos=12212=12，所以平面和平面的夹角为316.解：(1)因为为的中点，所以?=?+?=?+2?，又，三点共线，所以+2=1，解方程组+2=1=18可得：=12，=14；(2)由(1)可得?=12?+14?，又由=12|?|?|sin3=43，所以|?|?|=16，?=16cos3=8，所以?2=(12?+14?)2=14?2+116?2+14?=14?2+116?2+2，因为14?2+116?2 214?2116?2=2 164(16)2=4，当且仅当14?2=116?2=2 时等号成立，所以最小值为6

6、。17.解：(1)不超过 2 且与 2 互质的正整数为 1，故(2)=1；不超过 8 且与 8 互质的正整数为 1,3,5,7，共 4 个，故(8)=4；不超过 16 且与 16 互质的正整数为 1,3,5,7,9,11,13,15，共 8 个，故(16)=8。(2)由题意，=(2)。对于2()，不超过2且与2互质的正整数均为奇数，共有2 21=21个，故=21。(+1)(+1+1)=21(21+1)(2+1)=121+112+1因此=1(+1)(+1+1)?=1121+112+1?=120+1121+1+121+1122+1+121+112+1=第 6页，共 8页1212+1因为 +，所以2+1 0，故1212+112，原不等式成立。18.解(1)因为()=2，所以当=1 时，直线的斜率为(1)=21=1，又因为(1)=0，所以切点为(1,0)，所以直线的方程为 0=1(1)，即 1=0;(2)由(1)可知，曲线=()在(,()处的切线方程为 1=2()，即=(2)+21，因为直线与曲线=()相交于点(,()，且 3 时，(,3)时，()0，所以(3)0，所以0(2,3)，使(0)=

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